Двійкова система числення.

Подання чисел десяткової системи числення у двійковій.

Переведення чисел з десяткової системи числення у двійкову і навпаки.

А тепер нам слід навчитися подавати будь-яке число у вигляді комбінації нулів та одиниць. Це подання повинно бути однознач­ним, тобто різним числам повинні відповідати різні комбінації.

Система числення — це система запису чисел за допомогою певного набору знаків.

У звичній для нас системі запису чисел — десятковій системі числення (Історично ця система виникла при використанні для лічби пальців на руках)— для запису чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У цій системі будь-яке ціле невід’ємне число подається за допомогою степенів числа 10 (100=1; 101=10; 102=100; 103=1000; 104=10000 …). Число 10 є осно­вою цієї системи числення.

Дійсно, якщо число менше за 10, то записується відповідна йому одна цифра.

Якщо число більше або дорівнює 10, але менше за 100, то воно подається двома цифрами: перша показує кількість повних десятків, що містяться в числі, друга — кількість одиниць в остан­ньому неповному десятку.

Наприклад: 87=80+7=8∙10+7=8∙101+7∙100=8710.

Індекс внизу вказує систему числення, в якій записане вихід­не число.

Якщо число більше або дорівнює 100, але менше за 1000, то для його запису використовуються вже три цифри. Перша цифра — це кількість повних сотень, що містяться в числі, друга цифра — кількість повних десятків у останній неповній сотні, третя циф­ра — кількість одиниць в останньому неповному десятку.

Наприклад: 645=600+40+5=6∙100+4∙10+5=6∙102+4∙101+5∙100=64510.

Двійкова система числення — це система, в якій для запису чисел використову­ються дві цифри, 0 і 1. Основою двійкової системи числення є число 2.

Для запису числа у двійковій системі використовується подання цього числа за допомогою степенів числа 2.

Розглянемо на прикладах, як подаються числа за допомогою степенів числа 2.

Спочатку наведемо таблицю значень степенів числа 2.

п

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2П

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

Скориставшись цією таблицею, можна записати:

0=0∙20

1=20=1∙20

2=21=1∙21+0∙20

3=2+1=21+20=1∙21+1∙20

4=22=1∙22+0∙21+0∙20

5=4+1=22+20=1∙22+0∙21+1∙20

6=4+2=22+21=1∙22+1∙21+0∙20

7=4+2+1=22+21+20=1∙22+1∙21+1∙20

25=16+8+1=24+23+20=1∙24+1∙23+0∙22+0∙21+1∙20

120=64+32+16+8=26+25+24+23=1∙26+l∙25+l∙24+1∙23+0∙22+0∙21+0∙20.

У загальному вигляді подання цілого невід’ємного числа за до­помогою степенів двійки записується так само, як і подання (1) з §6 із заміною числа 10 на число 2:

,                      (2)

Коефіцієнти  у цьому виразі є двійкові цифри 0 або 1, причому ап=1.

Запис числа у двійковій системі відбувається так само, як і в де­сятковій: першою записується цифра ап, другою — цифра ап-1 і т. д., останньою — цифра а0.

Двійковий код числа — запис цього числа у двійковій системі числення.

Таким чином, двійковим кодом числа є послідовність коефіцієн­тів з подання (2). У наведених прикладах двійкові коди мають вигляд:

0=

02

5=

1012

1=

12

6=

1102

2=

102

7=

1112

3=

112

25=

110012

4=

1002

120=

11110002

Зверніть увагу: Коефіцієнти в поданні (2) повинні набувати лише одне з двох значень: 0 або 1. Це забезпечує однозначність такого подання.

Якщо один із коефіцієнтів більше 1, то відбувається перехід до наступного степеня числа 2.

Наприклад:

22п=12п+1; 32п=(2+1)2п= 12п+1+12п.

Старший коефіцієнт завжди дорівнює 1, тобто двійковий код завжди починається з 1 (так само, як і десятковий запис числа не може починатися з нуля).

Щоб краще усвідомити, як отримується двійковий код певно­го числа, уявімо собі послідовність розрядів, кожний з яких може містити тільки одну з двійкових цифр 0 або 1, тобто один біт інформації. Надалі під бітом і розрядом будемо розуміти те саме.

Пронумеруємо розряди справа наліво. Номер найправішого (молодшого) розряду дорівнює нулю. Номер найлівішого (стар­шого) розряду дорівнює показнику найбільшого степеня двійки, що міститься в числі. Отже, загалом кількість розрядів, врахо­вуючи нульовий, на один більша за номер старшого розряду (як­що, наприклад, номер старшого розряду дорівнює 7, то загалом ми маємо 8 розрядів з номерами від 0 до 7). Номер кожного роз­ряду дорівнює показнику відповідного степеня двійки.

Вміст розряду з номером п (п≥0) дорівнює 1, якщо 2п бере участь у поданні числа у вигляді суми степенів двійки, і дорів­нює 0, якщо не бере участі.

Подивимось, як отримується двійкове подання, наприклад, числа 25. Спочатку скористаємось нижнім рядком таблиці на малюнку 1. Число 25 подається у вигляді суми чисел з цього рядка: 25=16+8+1. Кожне число береться тільки один раз — це забезпечує однозначність двійкового коду. Потім вибрані чис­ла замінюються відповідними до них степенями двійки з верх­нього рядка таблиці: 16=24, 8=23, 1=20; 25=24+23+20. І, нарешті, розряди, номери яких дорівнюють числам, що виб­рані з верхнього рядка таблиці (4, 3, 0), заповнюються одиниця­ми, а решта — нулями.

25=16+8+1=24+23+20=

=

1∙24

+1∙23

+0∙22

+0∙21

+1∙20

п

4

3

2

1

0

ап

1

1

0

0

1

 

 

Завдання.

Записати числа у десятковій системі числення, перевести їх у двійкову систему числення: 12+N, 18+N, 34+N, 53+N, 16+N, 123+N, 1024+N,  де N – ваш номер за списком у журналі.

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*